Katastrophentheorie (Mathematik) Die mathematische Katastrophentheorie beschäftigt sich mit unstetigen, sprunghaften Veränderungen kontinuierlicher dynamischer Systeme. Diese können, auch wenn sie unter bestimmten Voraussetzungen einen stabilen Zustand anstreben, bei Änderungen der Parameter sprunghafte, nichtstetige, diskontinuierliche Änderungen der Lösung erfahren. Die Katastrophentheorie analysiert entartete kritische Punkte von Potentialfunktionen. Das sind Punkte, bei denen neben allen ersten Ableitungen auch einige der höheren Ableitungen Null sind. Die Punkte bilden den Keim (germ) der Katastrophen-Geometrien. Lassen sich die kritischen Punkte durch kleine Störungen nicht beseitigen, nennt man sie strukturell stabil.
In der Praxis sind die Faltungsbifurkationen und die Spitzen-Katastrophe (Cusp-Geometrie) die bei weitem wichtigsten Fälle der Katastrophentheorie und treten in zahlreichen Fällen auf. Stabile und instabile Extrema-Paare verschwinden an einer Faltungs-Katastrophe Die Schwalbenschwanz-Katastrophe. Root system.
Geometric arrangements of points, foundational to Lie theory In mathematics, a root system is a configuration of vectors in a Euclidean space satisfying certain geometrical properties. The concept is fundamental in the theory of Lie groups and Lie algebras, especially the classification and representation theory of semisimple Lie algebras. Since Lie groups (and some analogues such as algebraic groups) and Lie algebras have become important in many parts of mathematics during the twentieth century, the apparently special nature of root systems belies the number of areas in which they are applied.
Further, the classification scheme for root systems, by Dynkin diagrams, occurs in parts of mathematics with no overt connection to Lie theory (such as singularity theory). Finally, root systems are important for their own sake, as in spectral graph theory.[1] Definitions and examples[edit] Definition[edit] . An equivalent way of writing conditions 3 and 4 is as follows: is preserved.[7] . , where and. Wurzelsystem. Definitionen[Bearbeiten] Eine Teilmenge eines Vektorraums ist endlich. ist ein lineares Erzeugendensystem von .Zu jedem aus gibt es eine Linearform mit den Eigenschaften: Für ist .Die lineare Abbildung mit bildet auf ab.
Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt 4. Sind zwei Wurzeln linear abhängig, so gilt Man kann zeigen, dass die Linearform aus 3. für jedes eindeutig ist. Genannt; die Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt, dass die Kowurzeln ein Wurzelsystem im Dualraum bilden. Sind und zwei Wurzeln mit , so kann man zeigen, dass auch gilt, und man nennt orthogonal zueinander. Zweier nicht-leerer Teilmengen schreiben, dass jede Wurzel in orthogonal zu jeder Wurzel in ist, so heißt das Wurzelsystem reduzibel. In eine direkte Summe zerlegen, so dass Wurzelsysteme sind. Die Dimension des Vektorraums heißt Rang des Wurzelsystems. Eines Wurzelsystems heißt Basis, falls ist und jedes Element von als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von Zwei Wurzelsysteme mit gibt. (meist . . Bifurcation theory. Phase portrait showing saddle-node bifurcation Bifurcation theory is the mathematical study of changes in the qualitative or topological structure of a given family, such as the integral curves of a family of vector fields, and the solutions of a family of differential equations.
Most commonly applied to the mathematical study of dynamical systems, a bifurcation occurs when a small smooth change made to the parameter values (the bifurcation parameters) of a system causes a sudden 'qualitative' or topological change in its behaviour.[1] Bifurcations occur in both continuous systems (described by ODEs, DDEs or PDEs), and discrete systems (described by maps).
The name "bifurcation" was first introduced by Henri Poincaré in 1885 in the first paper in mathematics showing such a behavior.[2] Henri Poincaré also later named various types of stationary points and classified them. Bifurcation types[edit] It is useful to divide bifurcations into two principal classes: Local bifurcations[edit] Bifurkation (Mathematik)
Eine Bifurkation oder Verzweigung ist eine qualitative Zustandsänderung in nichtlinearen Systemen unter Einfluss eines Parameters . Der Begriff der Bifurkation wurde von Henri Poincaré eingeführt. unendlich viele Bifurkationen erfahren, und damit eine unendliche Menge an Häufungspunkten aufweisen. Das Verhalten solcher Systeme wandelt sich unter Änderung des Parameters somit zu deterministisch chaotischem Verhalten. Ein dynamisches System kann durch eine Funktion beschrieben werden, die die zeitliche Entwicklung des Systemzustands bestimmt. Abhängig, was man durch die Schreibweise ausdrückt. Ein qualitativ anderes Verhalten aufweist als für Werte oberhalb von , dann spricht man davon, dass das System bei eine Bifurkation im Parameter erfährt. Wird dann als Bifurkationspunkt bezeichnet. Was eine „qualitative Änderung“ ist, kann man formal mit dem Begriff der topologischen Äquivalenz bzw. der topologischen Konjugation beschreiben: Solange für zwei Parameterwerte und die Systeme aufgetragen. ) aus.
Catastrophe theory. In mathematics, catastrophe theory is a branch of bifurcation theory in the study of dynamical systems; it is also a particular special case of more general singularity theory in geometry. Catastrophe theory originated with the work of the French mathematician René Thom in the 1960s, and became very popular due to the efforts of Christopher Zeeman in the 1970s.
It considers the special case where the long-run stable equilibrium can be identified with the minimum of a smooth, well-defined potential function (Lyapunov function). Small changes in certain parameters of a nonlinear system can cause equilibria to appear or disappear, or to change from attracting to repelling and vice versa, leading to large and sudden changes of the behaviour of the system. However, examined in a larger parameter space, catastrophe theory reveals that such bifurcation points tend to occur as part of well-defined qualitative geometrical structures. Elementary catastrophes[edit] Fold catastrophe[edit] Katastrophentheorie (Mathematik) Die mathematische Katastrophentheorie beschäftigt sich mit unstetigen, sprunghaften Veränderungen kontinuierlicher dynamischer Systeme . Diese können, auch wenn sie unter bestimmten Voraussetzungen einen stabilen Zustand anstreben, bei Änderungen der Parameter sprunghafte, nichtstetige , diskontinuierliche Änderungen der Lösung erfahren.
Die Katastrophentheorie untersucht das Verzweigungs-Verhalten dieser Lösungen ( Bifurkationen ) bei Variation der Parameter und ist damit eine wichtige Grundlage zur mathematischen Behandlung der Chaostheorie . Manchmal wird in der Mathematik lieber von Theorie der Singularitäten differenzierbarer Abbildungen gesprochen, und der reißerische Name Katastrophentheorie vermieden.
Hauptergebnis ist die Einteilung dieser Singularitäten in sieben „Normaltypen“. Die Katastrophentheorie fußt grundlegend auf der Differentialgeometrie (bzw. Elementare Katastrophen [ Bearbeiten ] Die Katastrophentheorie analysiert entartete kritische Punkte von Potentialfunktionen. Emergence of Chaos. (There is order in chaos) An iterative process with a simple quadratic equation when considered in the complex domain, led to computer graphics of unusual richness, beauty and appeal, and constituted one of the fundamental pieces in the foundation of the new science of fractals . A study of iterations with another quadratic equation was a cornerstone in a related development of the science of chaos . This is a well known logisitic equation. The process often closely describes a population change from year n to the next year (n+1). The first term (kx) reflects the reproduction tendency which is proportional to the present population. The need to coexist and share resources is presented by the inhibiting term (1-x).
In the real domain, iterative processes admit quite a transparent graphical representation. On the diagram, subsequent iterates become closer and closer and each closer to the point of intersection of the graph and the diagonal. The terminology is as follows. References J. List of nonlinear partial differential equations. In mathematics and physics, nonlinear partial differential equations are (as their name suggests) partial differential equations with nonlinear terms. They describe many different physical systems, ranging from gravitation to fluid dynamics, and have been used in mathematics to solve problems such as the Poincaré conjecture and the Calabi conjecture .
They are difficult to study: there are almost no general techniques that work for all such equations, and usually each individual equation has to be studied as a separate problem. Methods for studying nonlinear partial differential equations [ edit ] Existence and uniqueness of solutions [ edit ] A fundamental question for any PDE is the existence and uniqueness of a solution for given boundary conditions. Singularities [ edit ] The basic questions about singularities (their formation, propagation, and removal, and regularity of solutions) are the same as for linear PDE, but as usual much harder to study.
Linear approximation [ edit ] Nonlinear system. This article describes the use of the term nonlinearity in mathematics. For other meanings, see nonlinearity (disambiguation) . In mathematics , a nonlinear system is one that does not satisfy the superposition principle , or one whose output is not directly proportional to its input; a linear system fulfills these conditions. In other words, a nonlinear system is any problem where the equation(s) to be solved cannot be written as a linear combination of the unknown variables or functions that appear in it (them). It does not matter if nonlinear known functions appear in the equations; in particular, a differential equation is linear if it is linear in the unknown function and its derivatives, even if non linear known functions appear as coefficients.
Nonlinear problems are of interest to engineers , physicists and mathematicians because most physical systems are inherently nonlinear in nature. Definition [ edit ] In mathematics , a linear function (or map) An equation written as since for . Kategorie:Nichtlineare Dynamik. G. H. Hardy. Godfrey Harold "G. H. " Hardy FRS[1] (7 February 1877 – 1 December 1947)[2] was an English mathematician, known for his achievements in number theory and mathematical analysis.[3][4] He is usually known by those outside the field of mathematics for his essay from 1940 on the aesthetics of mathematics, A Mathematician's Apology, which is often considered one of the best insights into the mind of a working mathematician written for the layman.
Starting in 1914, he was the mentor of the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan, a relationship that has become celebrated.[5][6] Hardy almost immediately recognised Ramanujan's extraordinary albeit untutored brilliance, and Hardy and Ramanujan became close collaborators. In an interview by Paul Erdős, when Hardy was asked what his greatest contribution to mathematics was, Hardy unhesitatingly replied that it was the discovery of Ramanujan.
He called their collaboration "the one romantic incident in my life Early life and career[edit] G. Work[edit] John Edensor Littlewood. John Edensor Littlewood (* 9. Juni 1885 in Rochester (Kent) ; † 6. September 1977 in Cambridge ) war ein englischer Mathematiker , der vor allem in der Analysis arbeitete. Leben und Wirken [ Bearbeiten ] Littlewood besuchte die St Paul's School in London , wo er Schüler von Francis Macaulay war. Um 1910 begann seine fruchtbare und langjährige Zusammenarbeit mit Hardy . Ab den 1930ern untersuchte er – teilweise in Zusammenarbeit mit Mary Cartwright – auch nichtlineare Differentialgleichungen , die etwa Anwendungen in der Theorie elektrischer Schwingkreise haben. Zu seinen Doktoranden zählen Harold Davenport , Sarvadaman Chowla , Donald Spencer , Stanley Skewes , Albert Ingham , A. Littlewood war von untersetzter Statur und sehr sportlich.
Sonstiges [ Bearbeiten ] Littlewood heiratete zwar nie, hatte aber eine Tochter Ann Streatfeild. Ehrungen [ Bearbeiten ] Literatur [ Bearbeiten ] Zitate [ Bearbeiten ] A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen mediocre papers. Mary Cartwright. Dame Mary Lucy Cartwright DBE FRS[1] (17 December 1900 – 3 April 1998)[2] was a British mathematician. With J. E. Littlewood she was the first to analyze a dynamical system with chaos.[3] Early life and education[edit] Cartwright was born in Aynho, Northamptonshire, where her father was vicar, and died in Cambridge, England. She studied mathematics at St Hugh's College, Oxford, graduating in 1923 with a first class degree. She then taught at Alice Ottley School in Worcester and Wycombe Abbey School in Buckinghamshire before returning to Oxford in 1928 to read for her D.Phil. She was supervised by G. In 1930 Cartwright was awarded a Yarrow Research Fellowship and she went to Girton College, Cambridge, to continue working on the topic of her doctoral thesis.
Career[edit] In 1936 Cartwright became director of studies in mathematics at Girton College, and in 1938 she began work on a new project which had a major impact on the direction of her research. Recognition[edit] References[edit] Introduction to Chaos and Nonlinear Dynamics. Graphic_Menu_fc.png. 3D-XplorMath Home Page The group in charge of the 3D-XplorMath software development project and the related Virtual Mathematics Museum website project is the 3DXM Consortium, an international volunteer group of mathematicians. The Consortium gratefully acknowledges ongoing support for these projects by The National Science Foundation (DUE Award #0514781) and is grateful to the Mathematics Department of The University of California at Irvine for hosting the 3D-XplorMath and Virtual Mathematical Museum websites.
Microsoft Word - CCSchroeder_Inhalt_Chaos_0607.doc - CCSchroeder_Inhalt_Chaos_0607.pdf. Phasenraum. Dieser Artikel wurde den Mitarbeitern der Redaktion Physik zur Qualitätssicherung aufgetragen. Wenn Du Dich mit dem Thema auskennst, bist Du herzlich eingeladen, Dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der Meinungsaustausch darüber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite, sondern auf der Qualitätssicherungs-Seite der Physik statt. Ein Phasenraum kann in Unterräume zerlegt werden. Zum Beispiel bildet im Phasenraum eines Massenpunktes der Unterraum der möglichen Ortsvektoren den Ortsraum und der Unterraum der möglichen Impulsvektoren den Impulsraum.[2] Trajektorien im Phasenraum[Bearbeiten] Trajektorie eines gedämpften Feder-Masse-Schwingers Ein dynamisches System, dessen Trajektorien den gesamten Phasenraum ausfüllen, also jedem Punkt im Phasenraum beliebig nahe kommen, nennt man ergodisch, siehe auch Ergodenhypothese.
Trotz ihrer Kreuzungsfreiheit können Trajektorien unterschiedlich dicht im Raum liegen. Phasenraumanalyse[Bearbeiten] und Y. Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem.
Satz von Poincaré-Bendixson. Chaosforschung. Fraktale Dimension. Deterministisches Chaos. Van-der-Pol-System. Poincaré-Abbildung. Cantor-Menge. Ljapunow-Exponent. Dimension Raum.