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Théorie des nombres

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Catalan's conjecture. For Catalan's aliquot sequence conjecture, see aliquot sequence. Catalan's conjecture (or Mihăilescu's theorem) is a theorem in number theory that was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proven in 2002 by Preda Mihăilescu. 23 and 32 are two powers of natural numbers whose values (8 and 9, respectively) are consecutive. The theorem states that this is the only case of two consecutive powers. That is to say, that the only solution in the natural numbers of for a, b > 1, x, y > 0 is x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

History[edit] The history of the problem dates back at least to Gersonides, who proved a special case of the conjecture in 1343 where (x, y) was restricted to be (2, 3) or (3, 2). In 1976, Robert Tijdeman applied Baker's method in transcendence theory to establish a bound on a,b and used existing results bounding x,y in terms of a, b to give an effective upper bound for x,y,a,b. Generalization[edit] See A103953 for the smallest solution (> 0), and. Identité remarquable.

Pour les articles homonymes, voir Identité. Représentation graphique de l'identité remarquable Identités remarquables du second degré[modifier | modifier le code] Dans toute la suite, a et b désignent des nombres, qui peuvent être des entiers, des rationnels et réels, ou même des complexes. Ces identités sont vraies plus généralement dans un anneau commutatif, ou même dans un anneau quelconque où a et b commutent.

Énoncés[modifier | modifier le code] Les trois identités remarquables du second degré sont[1] : La deuxième de ces identités peut être vue comme un cas particulier de la première, en prenant, au lieu de b, –b dans la première égalité. Définition d'un produit remarquable[1] — Les trois expressions suivantes sont appelées produit remarquable : On définit de même : Définition d'une somme remarquable[1] — Les trois expressions suivantes sont appelées somme remarquable : Exemples[modifier | modifier le code] Développement et réduction[modifier | modifier le code] De même, On a par ailleurs : Nombre premier. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même).

Ainsi, 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur entier positif ; 0 non plus car il est divisible par tous les entiers positifs. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1 est dit composé. Par exemple 6 = 2 × 3 est composé, tout comme 12 = 3 × 4 ou 2 × 6, mais 11 est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11. De telles listes de nombres premiers inférieurs à une borne donnée, ou compris entre deux bornes, peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul.

Mais il n'existe pas de liste exhaustive (finie) de nombres premiers, car il existe une infinité de nombres premiers (on le sait depuis l'Antiquité : voir Théorème d'Euclide sur les nombres premiers). Éléments historiques[modifier | modifier le code] Jalons symboliques[modifier | modifier le code] Notes : La connaissance de et . . . Vaut si . Algorithme d'Euclide. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers sans connaître leur factorisation. Il a été décrit pour la première fois dans le livre VII des Éléments d'Euclide sous la forme de l'anthyphérèse.

Remarque historique[modifier | modifier le code] Au début, Euclide a formulé le problème de façon géométrique : comment trouver une « unité de mesure » commune pour deux longueurs de segments. Il procède par soustractions répétées de la longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Cela correspond à une adaptation de la méthode naïve de calcul de la division euclidienne, telle que décrite dans l'article consacré. Description[modifier | modifier le code] Explications géométriques[modifier | modifier le code] Explications arithmétiques[modifier | modifier le code] On considère que pgcd(a,0) = a et que pour b ≠ 0 pgcd(a,b) = pgcd(b, a mod b). Exemple tel que tel que : et , avec. Lemme de Gauss. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide[1].

Il s'énonce ainsi : Une généralisation est : Lemme de Gauss — Si un nombre entier a divise le produit de deux autres nombres entiers b et c, et si a est premier avec b, alors a divise c. Formellement : Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme « évidente ». Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus[réf. nécessaire]. Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps.

Lemme d'Euclide[modifier | modifier le code] Équation diophantienne. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels, les coefficients étant eux-mêmes également entiers. La branche des mathématiques qui s'intéresse à la résolution de telles équation s'est appelée longtemps l'analyse indéterminée avant de se fondre dans l'arithmétique ou la théorie des nombres.

Si l'expression du problème posé est parfois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir complexes. Carl Friedrich Gauss, au XIXe siècle, écrivait de la théorie des nombres que « son charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves[1]. » Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles.

Arithmétique élémentaire[modifier | modifier le code] Voir aussi[modifier | modifier le code] Équation diophantienne ax + by = c. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Dans l'ensemble des entiers relatifs, une telle équation possède, ou bien aucune solution, ou bien une infinité de solutions. Lorsque les coefficients et les inconnues sont des entiers naturels, l'équation possède un nombre fini de solutions. Le théorème de Paoli en donne le nombre à 1 près. Recherche de solutions dans l'ensemble des entiers relatifs[modifier | modifier le code] Équation ax + by = 1 où a et b sont premiers entre eux[modifier | modifier le code] Le théorème de Bachet-Bézout affirme que cette équation admet toujours au moins une solution.

Ensemble des solutions — Une solution particulière (x0, y0) étant connue, l'ensemble des solutions est formé des couples (x0 + bk, y0 – ak) où k est un entier relatif quelconque. En effet, il est facile de vérifier qu'un tel couple est solution du problème : Il s'agit maintenant de prouver que seuls ces couples sont solutions. En regroupant autrement les termes, on obtient Soit encore a = da1 b = db1. Théorème des deux carrés de Fermat. Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée théorie algébrique des nombres.

À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Présentation du théorème[modifier | modifier le code] Le cas des nombres premiers[modifier | modifier le code] Certains nombres premiers sont sommes de deux carrés parfaits.

Le cas général[modifier | modifier le code] tels que. Théorème des quatre carrés de Lagrange. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'énonce de la façon suivante : Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers positifs a, b, c, d tels que : n = a2 + b2 + c2 + d2. Il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler : Histoire[modifier | modifier le code] Ce théorème a été conjecturé par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621, dans les notes accompagnant sa traduction en latin du Diophante.

Fermat affirma avoir une preuve de cette conjecture et même d'une généralisation (le théorème des nombres polygonaux (en), finalement démontré par Cauchy en 1813) et proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[1], mais aucun livre ne parut[2]. Voir aussi[modifier | modifier le code] Somme de carrés - théorème de caractérisation. Nombre polygonal. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier.

Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en arrangeant d'une certaine manière des cailloux ou des graines. Par exemple, le nombre 10, peut être représenté par un triangle Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré, alors que le nombre 9, peut se représenter en disposant des croix pour former un carré. Certains nombres, comme 36, peuvent être à la fois représentés par un carré et un triangle.

La méthode pour agrandir un polygone consiste à prolonger deux côtés adjacents d'un seul point, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Nombres triangulaires Nombres carrés Nombres hexagonaux Pour tout entier k ≥ 3, le premier nombre k-gonal est Pk,1 = 1, le deuxième est Pk,2 = k, le n-ième est Si k est impair, Intérêt[modifier | modifier le code] Disquisitiones arithmeticae. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Couverture de la première édition. Disquisitiones arithmeticae est un livre de théorie des nombres écrit par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss. Sa première publication date de 1801. Dans ce livre, Gauss réorganise le domaine en incluant des résultats obtenus par certains de ses prédécesseurs, comme Fermat, Euler, Lagrange ou Legendre, mais ajoute surtout des contributions importantes, qu'il s'agisse de notions (comme celle de congruence), de théorèmes (comme les critères de construction à la règle et au compas d'un polygone régulier dans un cercle) ou de démonstrations (comme les premières preuves de la loi de réciprocité quadratique).

Lu et retravaillé par de nombreux mathématiciens au cours des deux derniers siècles, le livre a instauré des normes de rigueur nouvelles et a eu un impact décisif sur des sujets aussi variés que la théorie de Galois, les tests de primalité ou la théorie des idéaux[1]. Section 1. Section 2. Et. Arithmétique modulaire. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division euclidienne.

L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9. Si ses origines remontent à l’Antiquité, les historiens associent généralement sa naissance à l’année 1801, date de la publication du livre Disquisitiones arithmeticae[1] de Carl Friedrich Gauss. Sa nouvelle approche permet d’élucider de célèbres conjectures[2] et simplifie les démonstrations d’importants résultats[3] par une plus grande abstraction. Et. Entier de Gauss. Pour les articles homonymes, voir Entier. En mathématiques, et plus précisément, en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss.

Il s'agit donc d'un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté ℤ[i], i désigne ici l'unité imaginaire. Cet ensemble dispose en plus d'une division euclidienne, ce qui permet d'y bâtir une arithmétique très analogue à celle des entiers relatifs. Histoire[modifier | modifier le code] Ouvrage traitant des entiers de Gauss (1801).

À l'âge de 18 ans, Gauss démontre le théorème. Définition[modifier | modifier le code] Premières propriétés[modifier | modifier le code] et ou encore ↑ A. Loi de réciprocité quadratique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques[4] : étant donné un nombre premier , déterminer, parmi les entiers, lesquels sont des carrés modulo et lesquels n'en sont pas ;étant donné un entier , déterminer, parmi les nombres premiers, modulo lesquels est un carré et modulo lesquels il n'en est pas un. Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres, et a de nombreuses généralisations. Énoncés[modifier | modifier le code] L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Premier énoncé[modifier | modifier le code] Théorème fondamental.

Première loi complémentaire. –1 est un carré modulo p si et seulement si p est congru à 1 modulo 4. Deuxième loi complémentaire. 2 est un carré modulo p si et seulement si p est congru à 1 ou –1 modulo 8. , autrement dit sauf si et. Théorème de la progression arithmétique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur du théorème. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune Dirichlet, est une généralisation du théorème d'Euclide sur les nombres premiers qui s'énonce de la façon suivante : « Si m et n sont deux entiers premiers entre eux et si n est strictement positif, il existe une infinité de nombres premiers de la forme m + an avec a entier. » ce qui est équivalent à l'énoncé suivant : « Si m et n sont deux entiers premiers entre eux et si n est strictement positif, il existe une infinité de nombres premiers dans la classe de m modulo n. » Ce théorème utilise à la fois les résultats de l'arithmétique modulaire et ceux de la théorie analytique des nombres.

Signification du théorème[modifier | modifier le code] On peut aller plus loin. Histoire[modifier | modifier le code] Théorème de Wilson. Théorème de Vinogradov. Prime Number Theorem -- from Wolfram MathWorld. Conjecture abc. Nombre p-adique. Nombres p-adiques.