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Groupes

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Groupe (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes.

La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie[1]. Un des groupes les plus communs est l'ensemble des entiers relatifs ℤ, qui est constitué des nombres Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la définition générale donnée plus bas. Loi de composition interne Associativité Élément neutre. Groupe (mathématiques) — Wikiversité. Exercices 1 : Exercices 2 : Exercices 3 : Exercices 4 : Exercices 5 : Exercices 6 : Exercices 7 : Exercices 8 : Exercices 9 : Exercices 10 : Exercices 11 : Exercices 12 : Exercices 13 : Exercices 14 : Exercices 15 : Exercices 16 : Exercices 17 : Exercices 18 : Exercices 19 : Exercices 20 : Exercices 21 : Exercices 22 : Exercices 23 : Exercices 24 : Exercices 25 : Exercices 26 : Exercices 27 : Exercices 28 : Exercices 29 : Exercices 30 : Exercices 31 : Exercices 32 :

Sous-groupe normal. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Définition[modifier | modifier le code] On dit qu'un sous-groupe d'un groupe est normal (ou distingué) dans s'il est stable par conjugaison, c'est-à-dire si : On note alors Une façon équivalente de définir un sous-groupe distingué est de dire que les classes à droite et à gauche de dans coïncident, c'est-à-dire : Une propriété[modifier | modifier le code] Si X et Y sont deux parties d'un groupe G, on désignera par XY l'ensemble des éléments de G de la forme xy, avec x dans X et y dans Y.

Soit H un sous-groupe normal d'un groupe G. Que si X est une partie de G, alors XH = HX. Si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, si un au moins de ces deux sous-groupes est normal dans G, alors le sous-groupe de G engendré par H et K est l'ensemble HK = KH. Groupe quotient[modifier | modifier le code] Les sous-groupes distingués sont importants dans l'étude des groupes quotients à cause du fait suivant : Exemples[modifier | modifier le code] Portail de l’algèbre.

Groupe quotient. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Partition d'un groupe en classes modulo un sous-groupe[modifier | modifier le code] Les classes à droite sont définies de manière analogue : Hg = { hg | h ∈ H }. Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur nombre est aussi égal à [G:H]. Définition[modifier | modifier le code] Si pour tout g ∈ G, gH = Hg, alors H est appelé un sous-groupe distingué ou normal ou invariant.

Cela donne à l'ensemble quotient une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient de G par H (ou parfois groupe des facteurs) et est noté G/H. Les sous-quotients d'un groupe G sont par définition les quotients de sous-groupes de G. Exemples[modifier | modifier le code] Considérons l'ensemble ℤ des entiers relatifs et le sous-groupe 2ℤ constitué des entiers pairs. Propriétés[modifier | modifier le code] Factorisation des morphismes[modifier | modifier le code] Soit f : G → G' un morphisme de groupes. . ↑ N. Indice d'un sous-groupe. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir indice. Définition[modifier | modifier le code] Soient (G,•) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation x–1y∈H est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G' les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H. De même, la relation yx–1∈H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H. (Il est clair que les classes à gauche et les classes à droite d'éléments de G modulo H coïncident si G est commutatif. Exemples[modifier | modifier le code] Formule des indices[modifier | modifier le code] Pour K trivial, on retrouve que pour tout sous-groupe H d'un groupe G, car l'application.

Produit direct (groupes) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes. Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Une loi de composition composante par composante : le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans . D'une structure de groupe. Et noté . Désignent respectivement les neutres de et de , le neutre de est . De est l'élément L'application définit un isomorphisme de sur (« commutativité » du produit direct) et l'application (« associativité » du produit direct). La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.

Soit une famille (finie ou infinie) de groupes. Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe. Produit semi-direct. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Produit semi-direct interne[modifier | modifier le code] Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée : La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet deux éléments de G ainsi décomposés.

Décomposé en un élément de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément de K. Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi : Pour tout , l'application est un automorphisme de H. Est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe[modifier | modifier le code] On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Et , et un morphisme de suivant. Treillis des sous-groupes. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Exemple[modifier | modifier le code] Ce treillis n'est pas modulaire (en), contrairement au treillis des sous-groupes d'un groupe abélien ou plus généralement, au (sous-)treillis des sous-groupes normaux d'un groupe.

Lien externe[modifier | modifier le code] (en) « Normal subgroup lattice is modular » [archive], sur Planetmath Portail de l’algèbre. Groupe abélien. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis. Définition[modifier | modifier le code] est abélien, ou commutatif, lorsque la loi de composition interne du groupe est commutative, c'est-à-dire lorsque : pour tous Notation additive[modifier | modifier le code] La loi d'un groupe commutatif est parfois notée additivement[1], c'est-à-dire par le signe +. Quand cette convention est adoptée, l'élément neutre est noté 0, le symétrique d'un élément x du groupe est noté –x et, pour tout entier relatif n, on note : Exemples[modifier | modifier le code] Les groupes abéliens comme modules sur l'anneau des entiers[modifier | modifier le code] Pour x élément d'un groupe abélien noté additivement et n entier relatif, on a défini plus haut l'élément nx du groupe.

Classes remarquables de groupes abéliens[modifier | modifier le code] Portail de l’algèbre. Groupe abélien libre. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Exemple et contre-exemple[modifier | modifier le code] Le groupe G = ℤ⊕ℤ ≃ ℤ×ℤ, somme directe de deux copies du groupe cyclique infini ℤ, est abélien libre de rang 2, de base B = {e1,e2} avec e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1), puisque tout élément (n, m) de G s'écrit de manière unique sous la forme (n, m) = ne1 + me2.Aucun groupe abélien fini non réduit au neutre n'est abélien libre, d'après la propriété 5 ci-dessous (pour d'autres contre-exemples cf. propriétés 5 et 6). Terminologie[modifier | modifier le code] Contrairement aux espaces vectoriels, les groupes abéliens n'ont pas tous une base, c'est pourquoi l'on réserve à ceux qui en ont une le qualificatif supplémentaire de « libres ». Ce qualificatif de « libre » peut prêter à confusion.

L'expression « groupe abélien libre » est à prendre globalement, et ne signifie pas du tout « groupe qui est à la fois un groupe abélien et un groupe libre » . Propriétés[modifier | modifier le code] Groupe cyclique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Les groupes cycliques sont importants en algèbre. On les retrouve, par exemple, en théorie des anneaux et en théorie de Galois. Définitions[modifier | modifier le code] Applications[modifier | modifier le code] Géométrie[modifier | modifier le code] Théorie des groupes[modifier | modifier le code] Arithmétique[modifier | modifier le code] En arithmétique ces groupes offrent un large répertoire d'outils et permettent de nombreuses démonstrations.

Théorie des anneaux[modifier | modifier le code] Les groupes cycliques jouent un rôle dans la théorie des anneaux particulièrement dans le cas des anneaux unitaires. Théorie de Galois[modifier | modifier le code] La théorie de Galois permet aussi de construire tous les corps finis, intimement associés à la structure de groupes cycliques. Théorie de l'information[modifier | modifier le code] La théorie de l'information utilise largement les groupes cycliques. Théorème fondamental[modifier | modifier le code] Partie génératrice d'un groupe. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie génératrice finie[1]. Un groupe engendré par un seul élément est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (ℤ, +), soit à un groupe additif de classes modulo n (ℤ/nℤ, +) ; on dit que c'est un groupe monogène.

Les sous-groupes des groupes commutatifs de type fini sont également de type fini, mais cela n'est pas vrai sans hypothèse de commutativité. Sous-groupe engendré par une partie[modifier | modifier le code] Soit G un groupe. Description : On dispose d'une description explicite des éléments du groupe ⟨S⟩. Exemples[modifier | modifier le code] Partie génératrice d'un groupe[modifier | modifier le code] On dit que S est une partie génératrice du groupe G, ou que G est engendré par S, lorsque le sous-groupe engendré par S est G : Autrement dit, tout élément de G est produit d'éléments de S ou de leurs inverses. Exemple : Groupes de type fini[modifier | modifier le code] . Théorème de Lagrange sur les groupes. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Si G est le groupe des entiers modulo 8, alors {0, 4} forme un sous-groupe H.

Sur l'exemple, {0, 4} contient 2 éléments et 2 divise 8. Énoncé[modifier | modifier le code] Démonstration[modifier | modifier le code] Remarquons que cette formule reste vraie quand les trois cardinaux qu'elle relie sont infinis, et qu'elle est un cas particulier de la formule des indices. Applications[modifier | modifier le code] Réciproques partielles[modifier | modifier le code] Un groupe fini G ne vérifie pas toujours la « réciproque du théorème de Lagrange », c'est-à-dire qu'il peut exister un diviseur d de |G| pour lequel G n'admet aucun sous-groupe d'ordre d.

Un groupe fini G est nilpotent si et seulement s'il vérifie la « réciproque » forte suivante du théorème de Lagrange : pour tout diviseur d de |G|, G possède un sous-groupe normal d'ordre d. Historique[modifier | modifier le code] Notes et références[modifier | modifier le code] Portail de l’algèbre. Patit théorème de Fermat. Théorème d'Euler (arithmétique) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, le théorème d'Euler en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler[1], s'énonce ainsi : Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n), où φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat, qui ne traite que le cas où n est un nombre premier. Il permet la réduction modulo n de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que φ(10) = 4. On en déduit que Le chiffre recherché est donc 9. Ordre multiplicatif Portail de l’arithmétique et de la théorie des nombres.

Théorème de Cauchy (groupes) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, le théorème de Cauchy, nommé en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy, est le suivant : Théorèmes de Sylow Portail des mathématiques. Théorème de Kronecker. Théorème de structure des groupes abéliens de type fini. Présentation d'un groupe. Théorème de Cayley. Théorèmes de Sylow. Analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Morphisme de groupes. Théorèmes d'isomorphisme. Action de groupe (mathématiques) Action par conjugaison. Groupe symétrique. Groupe alterné.

Suite exacte. Extension de groupes. Groupe résoluble. Groupe nilpotent.