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Ensembles et structures

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Ensemble. Mais la notion d'ensemble est aussi une notion de base qui intervient dans à peu près tous les domaines des mathématiques. Origines[modifier | modifier le code] La formulation en reviendrait au mathématicien Georg Cantor, qui énonçait : « Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »[trad 1],[1].

Ceci était particulièrement novateur, s'agissant d'ensembles éventuellement infinis (ce sont ces derniers qui intéressaient Cantor). L'objet de cet article est de donner une approche intuitive de la notion d'ensemble, telle qu'elle est indiquée dans l'article théorie naïve des ensembles. Ensembles, éléments et appartenance[modifier | modifier le code] Un ensemble peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn. L'appartenance d'un élément, noté par exemple x, à un ensemble, noté par exemple A, s’écrit : x ∈ A. Structure (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, une structure désigne toute théorie « plus forte » que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et règles.

C'est donc une théorie « fondée » sur la théorie des ensembles, mais contenant également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent également de définir de nouvelles structures qu'elle inclut. Cette notion est ainsi une puissante contribution à l'hypothèse selon laquelle la théorie des ensembles fournit le fondement des mathématiques. Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé le structuralisme mathématique. En histoire des mathématiques, quelque moderne et innovatrice que soit une notion nouvelle, il arrive fréquemment que l'on en observe rétrospectivement des traces jusque dans l'Antiquité.

Ces noyaux constitutifs des branches des mathématiques sont les structures mêmes : « Sous quelle forme va se faire cette opération ? Calcul des prédicats. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les logiciens de la fin du XIXe siècle et du début du XXe siècle.

Le trait caractéristique de la logique du premier ordre est l'introduction : Ceci permet de formuler des énoncés tels que « Tout x est P » et « Il existe un x tel que pour tout y, x entretient la relation R avec y » en symboles : et Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est obligée : c'est l'identité des éléments du modèle, et qui est axiomatisée en conséquence. Le calcul des propositions est la partie du calcul des prédicats qui concerne ce qui ne contient pas les notions de variables, de fonctions et de prédicats et donc pas les quantificateurs .

On se donne pour alphabet : ou . ? Calcul des propositions. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le calcul des propositions ou calcul propositionnel est une théorie logique qui définit les lois formelles du raisonnement. C'est la version moderne de la logique stoïcienne. C'est aussi la première étape dans la construction des outils de la logique mathématique. Introduction générale[modifier | modifier le code] Assez complexe à définir en général, la notion de proposition a fait l'objet de nombreux débats au cours de l'histoire de la logique ; l'idée consensuelle est qu'une proposition est une construction syntaxique pour laquelle il est sensé de parler de vérité.

En logique mathématique, le calcul des propositions est la première étape dans la définition de la logique et du raisonnement. Définition d'une proposition[modifier | modifier le code] Quoique le calcul des propositions ne se préoccupe pas du contenu des propositions, mais seulement de leurs relations, il peut être intéressant de discuter ce que pourrait être ce contenu. Les . Où et . Relation d'équivalence. La notion ensembliste de relation d'équivalence est omniprésente en mathématiques. Elle permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément.

On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « … a le même ISBN que … » est une relation d'équivalence. Définition[modifier | modifier le code] Définition formelle[modifier | modifier le code] Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. Plus explicitement : Par réflexivité, E coïncide alors avec l'ensemble de définition de ~ (qui se déduit du graphe par projection). Contre-exemples Remarque Exemples. Relation d'ordre.

Pour les articles homonymes, voir Ordre. Définitions et exemples[modifier | modifier le code] Relation d'ordre[modifier | modifier le code] Une relation d'ordre est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive : soit E un ensemble ; une relation interne ≤ sur E est une relation d'ordre si pour tous x, y et z éléments de E : x ≤ x (réflexivité)(x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y (antisymétrie)(x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z (transitivité) La forme même de ces axiomes permet d'affirmer que ces derniers sont également vérifiés par la relation binaire réciproque ≥, définie par y ≥ x si et seulement si x ≤ y. À toute relation d'ordre est donc associée une relation d'ordre opposée sur le même ensemble ; les formules x ≤ y et y ≥ x se lisent indifféremment : « x est inférieur à y », ou « x est plus petit que y », ou « y est supérieur à x », ou « y est plus grand que x » (ou parfois « x est au plus égal à y », ou « y est au moins égal à x »[1]. x < y si et seulement si x ≤ y et x ≠ y. x ≤ y ou y ≤ x. dans.

Majorant, borne supérieure, maximum, élément maximal. Treillis (ensemble ordonné) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Treillis. Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre. En mathématiques, un treillis[1] (en anglais : lattice) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis peut être vu comme le treillis de Galois d'une relation binaire. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique. Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis. Parmi les ensembles munis d'une relation d'ordre partiel, des exemples simples de treillis sont issus des relations d'ordre « est inclus dans » et « divise ».

Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées ⋁ et ⋀ vérifiant : et , de la manière suivante : Si par. Morphisme. Définitions[modifier | modifier le code] Cas général (théorie des modèles)[modifier | modifier le code] Soient et deux -structures, d'ensembles respectifs . Dans est une application de telle que : pour tout symbole de fonction -aire et pour tout on a (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;pour tout symbole de relation -aire et pour tout , si alors désignant l'interprétation du symbole dans la structure Cas des monoïdes[modifier | modifier le code] Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application , entre deux monoïdes , qui vérifie[1] : Cas des groupes[modifier | modifier le code] Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application , qui vérifie : On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence f(e)=e' et Cas des anneaux[modifier | modifier le code] Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions : dans lesquelles (respectivement ce qui est équivalent à :

Filtre (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Filtre. La théorie des filtres a été inventée, en 1937, par Henri Cartan[1],[2] et utilisée par Bourbaki[3]. Les filtres ont permis en particulier une démonstration élégante du théorème de Tychonov. Le cas particulier important des ultrafiltres joue un rôle fondamental dans la construction de prolongements d'objets classiques tels que les réels (donnant naissance aux hyperréels), ou les espaces localement compacts (permettant une construction du compactifié de Stone-Čech). En mathématiques, la notion de limite est au cœur de nombreux phénomènes et donne lieu à une théorie appelée topologie : (1) Si E et F sont des espaces topologiques, f est une fonction de E dans F et a est un point de E, on dit que « tend vers une limite (2) Si A est une partie non vide de la droite réelle achevée et est un point adhérent à A, on appelle limite à gauche de f au point a, relativement à A, une quantité tel que ; lorsque F est séparé, une telle quantité l est unique et notée si .

Trace (théorie des ensembles) Axiome du choix. Pour tout ensemble d'ensembles non vides (les jarres), il existe une fonction qui associe à chacun de ces ensembles (ces jarres) un élément contenu dans cet ensemble (cette jarre). En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement[1]. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo[2]. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie.

Énoncé[modifier | modifier le code] L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit : ce qui s'écrit formellement : L'appel à cet axiome n'est pas nécessaire si X est un ensemble fini car c'est une conséquence de la définition d'ensemble non vide (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Autres formulations[modifier | modifier le code] Théorème de Zermelo. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre, est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo, qui affirme : Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Axiome du choix, théorème de Zermelo et lemme de Zorn[modifier | modifier le code] Le théorème de Zermelo, l'axiome du choix et le lemme de Zorn sont équivalents : Le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix[modifier | modifier le code] Soient E un ensemble bien ordonné, et P(E) l'ensemble de ses parties. Le lemme de Zorn implique le théorème de Zermelo[modifier | modifier le code] Soit E un ensemble, soit M l'ensemble des relations de bon ordre sur une partie de E. Le lemme de Zorn implique donc l'axiome du choix (une preuve directe, sur le même principe, en est donnée dans l'article sur le lemme de Zorn). Lemme de Zorn. En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal.

Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix modulo les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Le lemme de Zorn permet d'utiliser l'axiome du choix sans recourir à la théorie des ordinaux (ou à celle des bons ordres via le théorème de Zermelo). En effet, sous les hypothèses du lemme de Zorn, on peut obtenir un élément maximal par une définition par récurrence transfinie, la fonction itérée étant obtenue par axiome du choix. Cependant, les constructions par récurrence transfinie sont parfois plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives. Ensemble inductif[modifier | modifier le code] Si (x,y) ∈ G et (x,y’) ∈ G, alors y = y’ Variantes[modifier | modifier le code]

Axiome de fondation. Théorie des ensembles. Godel.